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步骤一：确定二阶齐次方程的通解 \(y_h\)

1. 写出二阶齐次方程：
   \(a y'' + b y' + c y = 0\)

2. 求解特征方程：
   \(a r^2 + b r + c = 0\)

   • 根据根的情况：
     • 两个不同的实根 \(r_1, r_2 \)：通解为 \(y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
     • 重复实根 \(r \)：通解为 \(y_h = C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x}\)
     • 共轭复根 \(\alpha \pm i \beta\)：通解为 \(y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\)

步骤二：设特解 \(y^*\)

根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，设特解：

单一类型非齐次项：

• 常数或多项式 \(P(x)\)：

  • 如果 \(P(x)\) 是 n 次多项式，设特解 \(y^* = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_0\)

• 指数函数 \(e^{r x}\)：

  • 如果 \(r\) 不是特征根：设 \(y^* = A e^{r x}\)
  • 如果 \(r\) 是单特征根：设 \(y^* = A x e^{r x}\)
  • 如果 \(r\) 是重特征根：设 \(y^* = A x^2 e^{r x} + B x e^{r x}\)

• 正弦或余弦函数 \(\sin(\omega x)\) 或 \(\cos(\omega x)\)：

  • 设 \(y^* = A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x)\)
  • 如果 \(i\omega\)（或 \(-i\omega\)）是特征根，设 \(y^* = x(A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x))\)

复合非齐次项：

• 指数*多项式 \(e^{r x} P(x)\)：

  • 设 \(y^* = x^k Q(x) e^{r x}\)
    • \(k\) 是 \(r\) 在特征方程中作为根的重复次数。
    • \(Q(x)\) 与 \(P(x)\) 同次。

• 指数*三角函数 \(e^{\alpha x} [\sin(\beta x) + \cos(\beta x)]\)：

  • 如果 \(\alpha + i\beta\) 不是特征根：设 \(y^* = e^{\alpha x}[A \sin(\beta x) + B \cos(\beta x)]\)
  • 如果 \(\alpha + i\beta\) 是单特征根：设 \(y^* = x e^{\alpha x}[A \sin(\beta x) + B \cos(\beta x)]\)

步骤三：求特解中的未知系数

• 将设定的特解 \(y^*\) 代入原非齐次方程。
• 根据方程的左边和右边相同，列出关于未知系数 \(A, B, ...\) 的方程组，并解出这些系数。

步骤四：通解

• 通解为：
  \(y = y_h + y^*\)