以下由 ChatGPT-4o 生成

初等行变换过程

给定矩阵：

\[A = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \end{pmatrix} \]

步骤 1：将第 1 行的第一个元素变为 1

我们可以将第 1 行除以 5：

\[R_1 \rightarrow \frac{1}{5} R_1 \]

得到：

\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \end{pmatrix} \]

步骤 2：用第 1 行消去第 2 行和第 3 行的第 1 列元素

消去第 2 行的第 1 列元素：

使用第 2 行减去 3 倍的第 1 行：

\[R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1 \]

计算结果：

\[R_2 = (3 - 3 \times 1, 5 - 3 \times \frac{7}{5}, 6 - 3 \times \frac{2}{5}, -4 - 3 \times 0) \] \[R_2 = (0, 5 - \frac{21}{5}, 6 - \frac{6}{5}, -4) \] \[R_2 = (0, \frac{4}{5}, \frac{24}{5}, -4) \]

消去第 3 行的第 1 列元素：

使用第 3 行减去 4 倍的第 1 行：

\[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1 \]

计算结果：

\[R_3 = (4 - 4 \times 1, 5 - 4 \times \frac{7}{5}, -2 - 4 \times \frac{2}{5}, 3 - 4 \times 0) \] \[R_3 = (0, 5 - \frac{28}{5}, -2 - \frac{8}{5}, 3) \] \[R_3 = (0, \frac{-3}{5}, \frac{-18}{5}, 3) \]

现在矩阵变为：

\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} & \frac{24}{5} & -4 \\ 0 & \frac{-3}{5} & \frac{-18}{5} & 3 \end{pmatrix} \]

步骤 3：将第 2 行的第二个元素变为 1

为了方便，我们将第 2 行的第二个元素变为 1，通过将第 2 行乘以 ( \frac{5}{4} ) 来实现：

\[R_2 \rightarrow \frac{5}{4} R_2 \]

得到：

\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & \frac{-3}{5} & \frac{-18}{5} & 3 \end{pmatrix} \]

步骤 4：用第 2 行消去第 3 行的第二个元素

接下来，我们利用第 2 行来消去第 3 行的第二个元素。使用第 3 行加上 ( \frac{3}{5} ) 倍的第 2 行：

\[R_3 \rightarrow R_3 + \frac{3}{5} R_2 \]

计算结果：

\[R_3 = \left( 0, \frac{-3}{5} + \frac{3}{5} \times 1, \frac{-18}{5} + \frac{3}{5} \times 6, 3 + \frac{3}{5} \times (-5) \right) \] \[R_3 = (0, 0, \frac{-18}{5} + \frac{18}{5}, 3 - 3) \] \[R_3 = (0, 0, 0, 0) \]

现在矩阵变为：

\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

步骤 5：用第 2 行消去第 1 行的第二个元素

最后，我们利用第 2 行消去第 1 行的第二个元素。使用第 1 行减去 ( \frac{7}{5} ) 倍的第 2 行：

\[R_1 \rightarrow R_1 - \frac{7}{5} R_2 \]

计算结果：

\[R_1 = \left( 1 - \frac{7}{5} \times 0, \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \times 1, \frac{2}{5} - \frac{7}{5} \times 6, 0 - \frac{7}{5} \times (-5) \right) \] \[R_1 = (1, 0, \frac{2}{5} - \frac{42}{5}, 0 + \frac{35}{5}) \] \[R_1 = (1, 0, \frac{-40}{5}, 7) \] \[R_1 = (1, 0, -8, 7) \]

最终矩阵是：

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & -8 & 7 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

这个矩阵已经是行阶梯形矩阵（REF），其中第 1 列和第 2 列的主元已经变成了 1，且其下方的元素都已经为零。第三行是零行，表示该方程组有无穷多解（因为有自由变量）。

以下内容由 Grok 2 生成。

步骤一：确定二阶齐次方程的通解 \(y_h\)

1. 写出二阶齐次方程：
   \(a y'' + b y' + c y = 0\)

2. 求解特征方程：
   \(a r^2 + b r + c = 0\)

   • 根据根的情况：
     • 两个不同的实根 \(r_1, r_2 \)：通解为 \(y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
     • 重复实根 \(r \)：通解为 \(y_h = C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x}\)
     • 共轭复根 \(\alpha \pm i \beta\)：通解为 \(y_h = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\)

步骤二：设特解 \(y^*\)

根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式，设特解：

单一类型非齐次项：

• 常数或多项式 \(P(x)\)：

  • 如果 \(P(x)\) 是 n 次多项式，设特解 \(y^* = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_0\)

• 指数函数 \(e^{r x}\)：

  • 如果 \(r\) 不是特征根：设 \(y^* = A e^{r x}\)
  • 如果 \(r\) 是单特征根：设 \(y^* = A x e^{r x}\)
  • 如果 \(r\) 是重特征根：设 \(y^* = A x^2 e^{r x} + B x e^{r x}\)

• 正弦或余弦函数 \(\sin(\omega x)\) 或 \(\cos(\omega x)\)：

  • 设 \(y^* = A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x)\)
  • 如果 \(i\omega\)（或 \(-i\omega\)）是特征根，设 \(y^* = x(A \sin(\omega x) + B \cos(\omega x))\)

复合非齐次项：

• 指数*多项式 \(e^{r x} P(x)\)：

  • 设 \(y^* = x^k Q(x) e^{r x}\)
    • \(k\) 是 \(r\) 在特征方程中作为根的重复次数。
    • \(Q(x)\) 与 \(P(x)\) 同次。

• 指数*三角函数 \(e^{\alpha x} [\sin(\beta x) + \cos(\beta x)]\)：

  • 如果 \(\alpha + i\beta\) 不是特征根：设 \(y^* = e^{\alpha x}[A \sin(\beta x) + B \cos(\beta x)]\)
  • 如果 \(\alpha + i\beta\) 是单特征根：设 \(y^* = x e^{\alpha x}[A \sin(\beta x) + B \cos(\beta x)]\)

步骤三：求特解中的未知系数

• 将设定的特解 \(y^*\) 代入原非齐次方程。
• 根据方程的左边和右边相同，列出关于未知系数 \(A, B, ...\) 的方程组，并解出这些系数。

步骤四：通解

• 通解为：
  \(y = y_h + y^*\)