以下由 ChatGPT-4o 生成
初等行变换过程
给定矩阵：
\[A = \begin{pmatrix} 5 & 7 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \end{pmatrix} \]步骤 1：将第 1 行的第一个元素变为 1
我们可以将第 1 行除以 5：
\[R_1 \rightarrow \frac{1}{5} R_1 \]得到：
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 3 & 5 & 6 & -4 \\ 4 & 5 & -2 & 3 \end{pmatrix} \]步骤 2：用第 1 行消去第 2 行和第 3 行的第 1 列元素
消去第 2 行的第 1 列元素：
使用第 2 行减去 3 倍的第 1 行：
\[R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1 \]计算结果：
\[R_2 = (3 - 3 \times 1, 5 - 3 \times \frac{7}{5}, 6 - 3 \times \frac{2}{5}, -4 - 3 \times 0) \] \[R_2 = (0, 5 - \frac{21}{5}, 6 - \frac{6}{5}, -4) \] \[R_2 = (0, \frac{4}{5}, \frac{24}{5}, -4) \]消去第 3 行的第 1 列元素：
使用第 3 行减去 4 倍的第 1 行：
\[R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1 \]计算结果：
\[R_3 = (4 - 4 \times 1, 5 - 4 \times \frac{7}{5}, -2 - 4 \times \frac{2}{5}, 3 - 4 \times 0) \] \[R_3 = (0, 5 - \frac{28}{5}, -2 - \frac{8}{5}, 3) \] \[R_3 = (0, \frac{-3}{5}, \frac{-18}{5}, 3) \]现在矩阵变为：
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} & \frac{24}{5} & -4 \\ 0 & \frac{-3}{5} & \frac{-18}{5} & 3 \end{pmatrix} \]步骤 3：将第 2 行的第二个元素变为 1
为了方便，我们将第 2 行的第二个元素变为 1，通过将第 2 行乘以 ( \frac{5}{4} ) 来实现：
\[R_2 \rightarrow \frac{5}{4} R_2 \]得到：
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & \frac{-3}{5} & \frac{-18}{5} & 3 \end{pmatrix} \]步骤 4：用第 2 行消去第 3 行的第二个元素
接下来，我们利用第 2 行来消去第 3 行的第二个元素。使用第 3 行加上 ( \frac{3}{5} ) 倍的第 2 行：
\[R_3 \rightarrow R_3 + \frac{3}{5} R_2 \]计算结果：
\[R_3 = \left( 0, \frac{-3}{5} + \frac{3}{5} \times 1, \frac{-18}{5} + \frac{3}{5} \times 6, 3 + \frac{3}{5} \times (-5) \right) \] \[R_3 = (0, 0, \frac{-18}{5} + \frac{18}{5}, 3 - 3) \] \[R_3 = (0, 0, 0, 0) \]现在矩阵变为：
\[\begin{pmatrix} 1 & \frac{7}{5} & \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]步骤 5：用第 2 行消去第 1 行的第二个元素
最后，我们利用第 2 行消去第 1 行的第二个元素。使用第 1 行减去 ( \frac{7}{5} ) 倍的第 2 行：
\[R_1 \rightarrow R_1 - \frac{7}{5} R_2 \]计算结果：
\[R_1 = \left( 1 - \frac{7}{5} \times 0, \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \times 1, \frac{2}{5} - \frac{7}{5} \times 6, 0 - \frac{7}{5} \times (-5) \right) \] \[R_1 = (1, 0, \frac{2}{5} - \frac{42}{5}, 0 + \frac{35}{5}) \] \[R_1 = (1, 0, \frac{-40}{5}, 7) \] \[R_1 = (1, 0, -8, 7) \]最终矩阵是：
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & -8 & 7 \\ 0 & 1 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]这个矩阵已经是行阶梯形矩阵（REF），其中第 1 列和第 2 列的主元已经变成了 1，且其下方的元素都已经为零。第三行是零行，表示该方程组有无穷多解（因为有自由变量）。